Smaragd wrote:
Insanus wrote:Jos tajuaisi matematiikasta yhtään mitään niin joku aine=matematiikkaa-homma olisi kiinnostava.
Näinpä! Mutu-tuntumalla kolmiulotteinen geometria ja siihen liittyvä tyhjä tila (ilmeisesti se sinun kaaos) on aine. Muistaakseni Fosforos sisältää taas syventävää asiaa tähän kulmalukujen tarkkailun kautta.
Kuinka tyhjä tila olisi 'aine'? '
Chaos' viittaa etymologisesti tyhjään tilaan, kuten sanassa '
chasma', joka tarkoittaa ammottavaa kuilua. Platonin
Timaios -kirjoituksen '
chōra' liittynee samoin etymologisesti kuiluun. Calcidius kääntää sen '
locus', mutta tarkempi käännös olisi '
spatium' — kyseessä ei ole niinkään 'paikka', kuin se mikä antaa myös paikalle sen aseman
tilassa. Latinaksi voidaan kuitenkin käyttää sanaa '
chaos' esimerkiksi Epikuroksen tyhjiöstä (
kenos). Miksi geometrinen 'tila' olisi aine? Ainakaan se ei näytä olevan kuten '
chaos' sekamelskana, sillä geometrisessa tilassa on jonkinlainen järjestys — se on kaikkien rajauksiensa
mahdollisuus , mutta ei millä tavalla tahansa, sillä sen rajaukset ovat kolmiulotteisia, joten sillä täytyy olla järjestys, eikä se kykene olemaan kokonaan epäjärjestyksessä ja sikäli ei-mitään. Käytämme ilmaisua 'ei-mitään' useilla erilaisilla tavoilla ja Insanus ymmärtääkseni viittaa
mahdollisuuteen kuten tyhjiönä ja aineena, sillä siinä ei ole sellaisena rajoitusta, eli
jotakin kuten geometrisessa tilassa ei ole pistettä, viivaa tai avaruuskappaletta, vaikka siinä on sellaisten mahdollisuus tilan rajoituksina. Tietysti voitaisiin sanoa, että vaikkapa pisteen ajattelu oli
mahdollista ennen
todellista ajatusta pisteestä, mutta miten sellaisen ajattelun mahdollisuuden todellinen ajattelu eroaisi sen mahdollisuuden ajattelusta? Kun nimittäin ajatellaan pisteen ajattelun mahdollisuutta, on ajateltu pistettä, eikä sen ns.
todellinen ajatteleminen näyttäisi lisäävän mitään pisteeseen sellaisena kuin sitä ajateltiin pelkän mahdollisuutensa kautta. Mikä on sitten matemaattisen ja geometrisen suhde? Ainakaan geometriaa ei voida johtaa suoraan luvuista, sillä esimerkiksi luku '2' ei ole viiva, sillä myös kaksi pistettä lasketaan luvulla '2', mutta kaksi pistettä ei ole viiva, vaikka viivan voidaan ajatella sisältävän kaksi pistettä.
Timaioksen 'tila' liittyy sikäli matematiikkaan, että siinä luvut toimivat aistimusten muotoina — siis melko lailla kuten Aristoteleen platonisteille, jotka asettivat matematiikan muotojen ja aistimusten
väliin. Syynä oli se, että muotoja, vaikka niitä oli useita, oli kuitenkin jokaista vain yksi, mutta matemaattisesti niitä voitiin ajatella olevan useita — esimerkiksi luvulla '2' on vain yksi
muoto, jonka mukaisesti voidaan asettaa kolme kertaa peräkkäin '2', '2', '2', jolloin samaa muotoa käytetään kolme kertaa. Muotojen matemaattinen monistaminen ei lisää muotoja, sillä jokainen muodon kohde, kuten '2', '2' ja '2', on kappaleittain
yksi luku kaksi, joka on yhteinen kaikille kolmelle.
Miksi matematiikka olisi ainetta? Miksi se ei olisi muotoa? Pitäisikö sen olla jotakin niiden lisäksi, tai välissä? Kutsumme yleensä muodoksi sellaista yhdistelmää, joka sisältää vähintään kaksi toisistaan erotettua, kuten A ja B (
a quo) voidaan yhdistää muodoksi AB (
ad quem) — esimerkiksi tavu
rakennetaan kirjaimista niin, että kokonainen tavu on se joksi valmistetaan ja osat ovat se josta valmistetaan. Tavu AB kuitenkin sisältää kokonaisuutena molemmat osat, joista se on valmistettu ja jotka siten toimivat sen aineena. Mitä nyt olisi vastaavasti matemaattinen aine ja mitä matemaattinen muoto — vai pitäisikö muodon olla jotakin matemaattisen lisäksi? Voisimme sanoa, että esimerkiksi 1+1=2 sisältää
aineenaan 1+1 ja
muotonaan 2, sillä '1' ja '1' ovat osat, joista kokonaisuus '2' koostetaan. Tältä kannalta näyttäisi olevan oikeutettua sanoa, että on matemaattista ainetta ja matemaattista muotoa (
forma).
Toisaalta, luku '1' on yksi luku ja sikäli molemmilla luvuilla on yksi muoto, ts. laji (
species), jonka ainetta molemmat ovat, mutta sellainen muoto eroaa luvusta '2' — näyttää sikäli, että matemaattinen luku saattaa olla kahdella tavalla aineena riippuen siitä, kumpaa pidetään muotona. Sekä luku '2' kahden yhden muotona (
forma), että luvun '1' laji (
species) ovat tavallaan molemmat muotoja ja vieläpä älyllisiä sellaisia — kummastakaan ei voida kuitenkaan sanoa, että ne olisivat
olemassa muotonsa tai aineensa kannalta. Miksi nimittäin esimerkiksi luku '1' olisi olemassa, tai miksi lukujen '1' ja '1' '
species' olisi olemassa, tai niiden '
forma' lukuna '2'? Matemaattinen aine ja muoto, sekä niiden lajit näyttäisivät olevan yhtä vähän olemassa.
Minkä ainetta matematiikka sitten olisi? Jos sanomme, että matematiikka osallistuu todellisuuteen, ei näytä oikeutetulta sanoa, että se on todellisuuden
ainoa aine, sillä matemaattisten lukujen lajit osallistuvat myös todellisuuteen — voidaan myös sanoa, että parillisuus ja parittomuus ovat lukujen lajeja, mutta lajit eivät ole vain matemaattisia, joten miksi vain matematiikka olisi todellisuuden aine? Matemaattisilla luvuilla ei myöskään ole
suoraa vastaavuutta todellisuuden kanssa, sillä esimerkiksi yksi 'jakkara' tai yksi 'sänky' ei ole luku '1', sillä jakkara ei ole sama kuin sänky, mutta yksi on sama kuin yksi — luvut vastaavat todellisuutta ainoastaan
abstraktisti, so. osallistumalla. Matemaattisesta ns. aineesta voitaisiin ehkä sanoa, että se osallistuu muoto-aine-yhdistelmään, mutta silloin muoto olisi samalla perusteella ainetta, sillä sekin osallistuu yhdistelmään. Olisiko todelliseen — so. kuten yhteen jakkaraan ja yhteen sänkyyn — osallistuvaa lukua sitten pidettävä enemmän muotona kuin aineena? Näyttää, että sitä olisi pidettävä muotona, sillä jakkara on yksi ja sänky on yksi osallistumalla lukuun — jakkara osallistuu kuitenkin myös jakkaroiden muotoon ja sänky sänkyjen muotoon, joten matemaattinen luku ei ole ainoa muoto. Lisäksi yksi jakkara osallistuu matemaattiseen lukuun ainoastaan
yhdistelmässä, johon matemaattinen luku itse osallistuu, mutta molemmat eivät voi osallistua samalla lailla, sillä muuten kokonaisuus olisi itsensä osa. Todellisuus näyttää olevan ennemmin kuin
yksi jakkara ja sellaisena muoto, sillä se sisältää sekä jakkaran, että yhden kokonaisuutena, jonka osia molemmat ovat. Sikäli matemaattinen luku on ennemmin kuin ainetta, mutta se ei ole ainoa aine. Platonin Timaios käyttää yhdistelmästä nimitystä 'tila', mikä on myös tavallaan oikein, sillä luku menee ikään kuin sisään kokonaisuuteen. Siten ei näytä olevan syytä pitää matemaattista lukua yksiselitteisesti kumpanakaan: ei todellisuuden aineena eikä muotona, vaikka sitä voidaan pitää yhdessä mielessä aineena ja toisessa mielessä muotona. Todellisuus edellyttää kummin päin tahansa myös toista muotoa tai toista ainetta.
Kaikista vähiten olemassa näyttäisi olevan ääretön luku tai tyhjä tila, sillä niissä on omassa lajissaan vähän sisäisiä eroja, vaikka ääretön luku ei ole sama kuin tyhjä tila, joten molemmilla on sisäisiä eroja — sanaa '
chaos' ei voida sikäli käyttää niistä vain rajatussa merkityksessä. Luku '1' ei ole olemassa, eikä piste ole olemassa, mutta molemmat ovat lähempänä sitä mihin niitä sovelletaan, kuten jakkaraa tai sänkyä, joten niiden voitaisiin sanoa olevan
enemmän olemassa ja tyhjän tilan tai matemaattisen äärettömän erittäin kaukana olemisesta. Ratkaistavaksi jäisi kumpi niistä on vähemmän olemassa, sillä niitä ei voida johtaa toisistaan. Mitä abstraktimpia matematiikan ja geometrian kohteet ovat sitä kauempana ne ovat kuitenkin konkreettisesta ja abstraktia voitaisiin siten kutsua konkreettisen aineeksi. Tältä kannalta kyseisiä abstraktioita voidaan pitää lähellä ei-mitään ja sikäli erittäin aineellisina, missä Insanus näyttää puhuneen järkevästi — joskin matematiikka ja geometria eroavat toisistaan ja kummassakin joitakin osia voidaan pitää aineena ja toisia muotoina, kuten ääretöntä lukua matematiikassa ja tyhjää tilaa geometriassa aineena, sekä lukua '1' ja pistettä muotoina. Edelleen, lukua '1' ja pistettä voitaisiin pitää lähempänä todellisuutta olevina, koska ne ovat enemmän jotakin ja vähemmän ei-mitään — sikäli todellisuus on kuin muotoa ja epätodellinen ainetta, mikä on myös järkevää sillä todellisuus on matematiikan ja geometrian
se-mitä-varten, niitä täydellisempää ja sisältää niiden epätodelliset kohteet yhdistelmässä. Silloin todellisuus matematiikan ja geometrian muotona on kuitenkin kuten
puinen jakkara, eikä kuten jakkaran muoto aineesta erotettuna — ja niin asia onkin.